Табличный метод интегрирования. Методы вычисления неопределенных интегралов

Для решения упражнений по теме «Интегрирование» рекомендуется следующая литература:

1. . Математический анализ. Неопределённый интеграл. Определённый интеграл: учебное пособие . – М.: МГИУ, 2006. – 114 с.: ил. 20.

2. , и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов/Под ред. . (любой год издания).

Семинар №1.

Нахождение неопределённых интегралов с помощью основных правил интегрирования и таблицы неопределённых интегралов.

https://pandia.ru/text/78/291/images/image002_164.gif" width="113 height=27" height="27">, то,

где С – произвольная постоянная,

2) , где k – постоянная величина,

4) .

https://pandia.ru/text/78/291/images/image008_45.gif" width="24" height="28 src="> Под знаком интеграла стоит произведение двух постоянных, которое есть, естественно, тоже постоянная. Согласно основному правилу интегрирования 2), выносим её за знак интеграла.

(2) Используем формулу 1) Таблицы интегралов.

https://pandia.ru/text/78/291/images/image010_36.gif" width="569" height="44 src=">.gif" width="481" height="75 src=">

https://pandia.ru/text/78/291/images/image014_25.gif" width="255" height="32 src=">. В нашем случае , https://pandia.ru/text/78/291/images/image017_22.gif" width="75 height=47" height="47">, то .

(3) Воспользуемся основным правилом 3) интегрирования (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций).

(4) Пользуемся формулой 1) Таблицы интегралов и основным правилом интегрирования 4), положив , т. е.

.

https://pandia.ru/text/78/291/images/image022_9.gif" width="551" height="91 src=">

https://pandia.ru/text/78/291/images/image024_8.gif" width="449" height="101 src=">.

(1) Воспользуемся формулой сокращённого умножения

https://pandia.ru/text/78/291/images/image026_7.gif" width="103" height="37 src=">).

(2) Пользуемся свойством степеней ().

(4) В каждом из слагаемых под знаком интеграла пользуемся свойством степеней (https://pandia.ru/text/78/291/images/image029_7.gif" width="325" height="56 src=">.

(1) Поменяем два слагаемых местами в знаменателе подынтегрального выражения, чтобы получить табличный интеграл.

(2) Воспользуемся формулой 6) Таблицы интегралов..gif" width="364 height=61" height="61">.

(1) Поменяем два слагаемых местами под знаком корня в знаменателе подынтегрального выражения, чтобы получить табличный интеграл.

(2) Воспользуемся формулой 11) Таблицы интегралов.

https://pandia.ru/text/78/291/images/image033_5.gif" width="625" height="75 src=">

https://pandia.ru/text/78/291/images/image035_5.gif" width="459" height="67 src=">

https://pandia.ru/text/78/291/images/image037_5.gif" width="535" height="67 src=">

(1) Подставляем .

(2) Из основного тригонометрического тождества имеем .

(3) Почленно делим каждое слагаемое числителя на знаменатель.

(4) Воспользуемся основным правилом 3) интегрирования (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций).

(5) Пользуемся формулой 15) Таблицы интегралов и основным правилом интегрирования 4), положив , т. е. .

Упражнения. №№ 000, 1034, 1036, 1038, 1040, 1042, 1044, 1046, 1048(а) из задачника .

Семинар №2

Интегрирование методом замены переменной

Если интеграл не является табличным, то часто используют замену переменной, а именно, полагая https://pandia.ru/text/78/291/images/image044_5.gif" width="39" height="27 src="> - непрерывно дифференцируемая функция. Подставляя в интеграл, будем иметь

Функцию https://pandia.ru/text/78/291/images/image043_5.gif" width="71" height="27"> получаем и подставляем в первообразную, зависящую от переменной t , получая в итоге первообразную зависящую от первоначальной переменной x , т. е. возвращаемся к старой переменной. Возвращаться к старой переменной следует обязательно!

В этом примере уже указана замена переменной .

https://pandia.ru/text/78/291/images/image049_5.gif" width="525" height="115 src=">

https://pandia.ru/text/78/291/images/image051_3.gif" width="408" height="83 src=">

https://pandia.ru/text/78/291/images/image053_3.gif" width="256 height=67" height="67">, так как .

При подстановке имеем .

(2) Умножаем числитель и знаменатель на .

(3) Этот интеграл «похож» на табличные 9) и 10), но заметим, что в том и другом коэффициент при квадрате неизвестного равен 1. Поэтому под корнем выносим коэффициент при за скобки.

(4) Пользуемся свойством корня квадратного из произведения двух положительных сомножителей: если и , то .

(5) Выделяем под знаком интеграла множитель.

(6) Выносим этот множитель за знак интеграла, согласно Основному правилу 2) интегрирования.

(7) Согласно формуле 10) Таблицы неопределённых интегралов получаем ответ, зависящий от переменной . Здесь , .

(8) Возвращаемся к старой переменной, проводя обратную замену, т. е..gif" width="611" height="115 src="> =

https://pandia.ru/text/78/291/images/image067_2.gif" width="47" height="21"> имеем , для нашего примера .

(2) Пользуемся основным логарифмическим тождеством: https://pandia.ru/text/78/291/images/image071_2.gif" width="111 height=32" height="32">.

(3) Приводим к общему знаменателю выражение, стоящее в знаменателе.

(4) Умножаем числитель и знаменатель подынтегрального выражения на https://pandia.ru/text/78/291/images/image072_2.gif" width="581" height="53 src=">

https://pandia.ru/text/78/291/images/image074_2.gif" width="179" height="53 src=">. Запомним это на будущее.

В этом примере также замена переменной уже указана.

https://pandia.ru/text/78/291/images/image076_2.gif" width="621" height="64 src=">.

Очень часто бывает целесообразно попробовать замену , если выражение имеется под знаком интеграла или замену https://pandia.ru/text/78/291/images/image080_2.gif" width="80" height="33">где - некоторое целое положительное число Дифференциал" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">дифференциала .

Если подынтегральная функция зависит от выражения , то можно дать некоторые рекомендации по замене переменной.

https://pandia.ru/text/78/291/images/image085.jpg" width="600" height="372 src=">

https://pandia.ru/text/78/291/images/image087_2.gif" width="557" height="68 src=">

https://pandia.ru/text/78/291/images/image089_2.gif" width="343" height="64 src=">

https://pandia.ru/text/78/291/images/image091_2.gif" width="591" height="101 src=">

https://pandia.ru/text/78/291/images/image093_2.gif" width="597" height="101 src=">

https://pandia.ru/text/78/291/images/image095_2.gif" width="113" height="27">..gif" width="108" height="27 src=">.

В самом деле,

https://pandia.ru/text/78/291/images/image099_2.gif" width="125" height="27 src=">

То есть в случае, когда подынтегральная функция имеет вид https://pandia.ru/text/78/291/images/image100_2.gif" width="48" height="27"> под знак дифференциала:

https://pandia.ru/text/78/291/images/image102_2.gif" width="292" height="29 src=">. Далее делаем замену переменной .

Такого рода преобразование иногда называют «подведение под знак дифференциала».

Прежде чем разбирать примеры на эту тему, приведём таблицу, которую можно получить из таблицы неопределённых интегралов

https://pandia.ru/text/78/291/images/image105_1.gif" width="96" height="53 src=">.gif" width="135" height="53 src=">,

https://pandia.ru/text/78/291/images/image109_1.gif" width="147" height="55 src=">,

https://pandia.ru/text/78/291/images/image111_1.gif" width="172" height="60 src=">,

https://pandia.ru/text/78/291/images/image113_1.gif" width="155" height="23 src=">,

https://pandia.ru/text/78/291/images/image115_1.gif" width="128" height="55 src=">,

https://pandia.ru/text/78/291/images/image117_1.gif" width="209" height="53 src=">,

https://pandia.ru/text/78/291/images/image119_1.gif" width="215" height="53 src="> и т. д.

https://pandia.ru/text/78/291/images/image121_1.gif" width="393" height="48 src=">.

https://pandia.ru/text/78/291/images/image123_1.gif" width="587" height="101 src=">

https://pandia.ru/text/78/291/images/image125_1.gif" width="155" height="27">, то целесообразна замена . Тогда имеем

https://pandia.ru/text/78/291/images/image128_1.gif" width="592" height="88 src=">=

.

https://pandia.ru/text/78/291/images/image133_1.gif" width="560" height="60 src=">

.

https://pandia.ru/text/78/291/images/image136_1.gif" width="560" height="59 src=">.

Упражнения №№ 000, 1088, 1151, 1081, 1082, 1094.

Семинар №4

Метод интегрирования по частям в неопределённом интеграле

Этот метод основан на следующей теореме.

Теорема. Пусть функции и имеют конечные производные в промежутке , и в этом промежутке существует первообразная для функции. Тогда в промежутке существует первообразная для функции и справедлива формула

Эту формулу можно записать в виде

.

Задача при интегрировании по частям заключается в том, чтобы подынтегральное выражение представить в виде произведения так, чтобы интеграл был проще, чем , т. е. нельзя выбирать и произвольно, так как можно получить более сложный интеграл https://pandia.ru/text/78/291/images/image149_1.gif" width="45 height=29" height="29">.

Практика показывает, что большая часть интегралов «берущихся» по частям может быть разбита на три группы:

https://pandia.ru/text/78/291/images/image151.jpg" width="636" height="396 src=">

Эти интегралы находятся двукратным интегрированием по частям.

Замечание . В первой группе интегралов для интегралов вместо может быть многочлен зависящий от необязательно целой положительной степени (например https://pandia.ru/text/78/291/images/image156_0.gif" width="33" height="28 src=">.gif" width="35" height="45 src="> и т. д.).

В этом примере разбиение на множители и единственно возможное, что бывает не очень часто.

При нахождении выражения для в методе интегрирования по частям постоянную C можно положить равной нулю (см. стр.22).

https://pandia.ru/text/78/291/images/image163_0.gif" width="552" height="57 src=">

https://pandia.ru/text/78/291/images/image165_0.gif" width="623" height="176 src=">

https://pandia.ru/text/78/291/images/image167_0.gif" width="512" height="53 src=">

https://pandia.ru/text/78/291/images/image169_0.gif" width="25" height="23"> можно представить как ..gif" width="93" height="53 src=">.

https://pandia.ru/text/78/291/images/image174_0.gif" width="503" height="33 src=">.

Это пример также из второй группы интегралов.

https://pandia.ru/text/78/291/images/image176_0.gif" width="591" height="72 src=">

https://pandia.ru/text/78/291/images/image178_0.gif" width="197" height="28 src=">.

Таким образом, получаем уравнение относительно искомого интеграла https://pandia.ru/text/78/291/images/image180_0.gif" width="212 height=28" height="28">.

Переносим слагаемое в левую часть уравнения и получаем эквивалентное уравнение

решая которое, получаем ответ:

.

Этот пример из третьей группы интегралов. Здесь мы дважды применили интегрирование по частям.

Упражнения. №№ 000, 1214, 1226, 1221, 1217, 1218, 1225, 1223,

Семинар №5

Вычисление определённых интегралов

Вычисление определённых интегралов основано на свойствах определённого интеграла и формуле Ньютона-Лейбница.

Приведём основные свойства определённого интеграла

1) Каковы бы ни были числа a , b , c всегда имеет место равенство

https://pandia.ru/text/78/291/images/image185_0.gif" width="188" height="61 src=">.

3) Определённый интеграл от алгебраической суммы двух (конечного числа) функций равен алгебраической сумме их интегралов, т. е.

https://pandia.ru/text/78/291/images/image187_0.gif" width="47" height="27 src="> есть некоторая первообразная от непрерывной функции , то справедлива формула

.

Вычисление определённого интеграла как предела интегральных сумм – достаточно трудоёмкое дело даже для элементарных функций. Формула Ньютона-Лейбница позволяет свести вычисление определённого интеграла к нахождению неопределённого интеграла, когда известна первообразная подынтегральной функции. Значение определённого интеграла равно разности значений первообразной на верхнем и нижнем пределе интегрирования.

Примеры вычисления определённого интеграла в простейших случаях

https://pandia.ru/text/78/291/images/image191_0.gif" width="28" height="71 src=">.gif" width="387" height="61 src=">.gif" width="40" height="28 src=">.gif" width="41" height="21 src=">.gif" width="541" height="67 src=">

https://pandia.ru/text/78/291/images/image199.jpg" width="600" height="145 src=">

.

При использовании метода замены переменной в определённом интеграле надо иметь в виду два момента.

https://pandia.ru/text/78/291/images/image202.jpg" width="648" height="60 src=">

https://pandia.ru/text/78/291/images/image204.gif" width="319" height="61 src=">.gif" width="89" height="32 src=">.gif" width="525" height="28 src=">.

Интегрирование по частям в определённом интеграле

При использовании формулы интегрирования по частям в определённом интеграле иногда оказывается, например, что , поэтому сразу же следует вычислять выражение , не откладывая это до тех пор, пока не будет найдена вся первообразная.

https://pandia.ru/text/78/291/images/image213.gif" width="29" height="91 src=">.gif" width="221" height="53 src=">.gif" width="365" height="59 src=">.

Упражнения . №№ 000, 1522, 1525, 1531, 1583, 1600,1602.

Семинар № 6

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы первого рода

Несобственные интегралы первого рода – это интегралы с бесконечными пределами (или одним бесконечным пределом). Это интегралы вида , , . Пусть функция интегрируема на любом конечном отрезке, заключённом внутри промежутка интегрирования. Тогда, по определению

https://pandia.ru/text/78/291/images/image222.gif" width="227 height=60" height="60">.gif" width="235 height=76" height="76">.

Если приведённые пределы существуют и конечны, то говорят, что несобственные интегралы сходятся. Если не существуют или бесконечны, то говорят, что расходятся (подробнее см. стр.72-76).

https://pandia.ru/text/78/291/images/image226.gif" width="47" height="21 src="> имеем

https://pandia.ru/text/78/291/images/image228.gif" width="31" height="71 src=">.gif" width="191" height="88 src=">

Если https://pandia.ru/text/78/291/images/image232.gif" width="188" height="60 src=">.gif" width="199" height="43 src=">.

Таким образом, данный интеграл сходится при и расходится при.

Исследовать на сходимость несобственный интеграл

https://pandia.ru/text/78/291/images/image239.gif" width="31" height="71 src=">=

https://pandia.ru/text/78/291/images/image241.gif" width="417" height="56 src=">,

Исследовать на сходимость несобственный интеграл

.

https://pandia.ru/text/78/291/images/image244.gif" width="303" height="61">.gif" width="523" height="59 src=">,

т. е. данный несобственный интеграл сходится.

Калькулятор решает интегралы c описанием действий ПОДРОБНО на русском языке и бесплатно!

Решение неопределённых интегралов

Это онлайн сервис в один шаг :

Решение определённых интегралов

Это онлайн сервис в один шаг :

  • Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
  • Ввести нижний предел для интеграла
  • Ввести верхний предел для интеграла

Решение двойных интегралов

  • Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)

Решение несобственных интегралов

  • Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
  • Введите верхнюю область интегрирования (или + бесконечность)
  • Ввести нижнюю область интегрирования (или - бесконечность)

Решение тройных интегралов

  • Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
  • Ввести нижний и верхний пределы для первой области интегрирования
  • Ввести нижний и верхний предел для второй области интегрирования
  • Ввести нижний и верхний предел для третьей области интегрирования

Данный сервис позволяет проверить свои вычисления на правильность

Возможности

  • Поддержка всех возможных математических функций: синус, косинус, экспонента, тангенс, котангенс, корень квадратный и кубический, степени, показательные и другие.
  • Есть примеры для ввода, как для неопределённых интегралов, так и для несобственных и определённых.
  • Исправляет ошибки в ведённых вами выражениях и предлагает свои варианты для ввода.
  • Численное решение для определённых и несобственных интегралов (в том числе для двойных и тройных интегралов).
  • Поддержка комплексных чисел, а также различных параметров (вы можете указывать в подинтегральном выражении не только переменную интегрирования, но и другие переменные-параметры)

1. Интегральное исчисление функций одной переменной

2. Первообразная и неопределенный интеграл.

3. Свойства неопределенного интеграла.

4. Таблица интегралов

При изучении дифференцирования функций, ставилась задача − по дан-ной функции найти ее производную или дифференциал. Многие вопросы науки и техники приводят к постановке обратной задачи − для данной функ-ции f(x) найти такую функцию F(x), производная или дифференциал которой равны соответственно f(x) или f(x)dx .

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной по отношению к функции f(x) на некотором промежутке (a, b), если на этом промежутке фун-к-ция F(x) дифференцируема и удовлетворяет уравнению

F ′(x) = f(x)

или, что то же самое, соотношению

dF(x) = f(x)dx.

Так, например, функция sin 5x - первообразная на любом промежутке по отношению к функции f (x ) = 5cos5x , так как (sin5x )′ = 5cos5x .

Легко проверить, что наличие одной первообразной обеспечивает наличие таких функций в бесконечном множестве. В самом деле, если F(x) - первообразная от функции f(x) , то

Ф(x) = F(x) + C ,

где С - любая постоянная, также первообразная, так как

Ф ′(х ) = (F (x ) + C )′ = F ′(x ) + 0 = f (x ).

На вопрос, как найти все первообразные данной функции, если известна одна из них, дает ответ следующая теорема.

Теорема 1 (о первообразных). Если F (x ) − какая-нибудь первообразная от функции f (x ) на интервале (a, b ), то все ее первообразные имеют вид F (x ) + С , где С - произвольная постоянная.

Геометрически y = F(x) + C означает, что гра-фик любой первообразной функции получается из графика функции y = F (x ) простым сдвигом его параллельно оси Оу на величину С (см. рисунок). В связи с тем, что одна и та же функция f (x ) имеет бесконечно много первообразных, возникает проб-лема выбора первообразной, которая решает ту или иную практическую задачу.

Известно, что производная от пути по времени равна скорости точки: S ′(t ) = V (t ), поэтому, если известен закон изменения скорости V(t) , путь движения точки есть первообразная от скорости точки, т. е. S (t ) = F (t ) + C .

Для нахождения закона изменения пути S(t) нужно использовать началь-ные условия, т. е. знать, чему равен пройденный путь S0 при t = t0 . Пусть при t = t0 имеем S = S0 . Тогда

S(t 0 ) = S 0 = F(t 0 ) + C. С = S 0 - F(t 0 ) и S(t) = F(t) + S 0 - F(t 0 ).

Определение 2. Если F(x) - некоторая первообразная от функции f(x), то выражение F(x) + C, где С - произвольная постоянная, называется неопреде-ленным интегралом и обозначается

∫f (x )dx = F (x ) + C ,


т. е. неопределенный интеграл от функции f(x) есть множество всех её перво-образных.

При этом функция f(x) называется подынтегральной , а произведение f(x)dx - подынтегральным выражением ; F(x) - одна из первообразных; х - пе-ременная интегрирования . Процесс отыскания первообразной называется интегрированием.

П р и м е р 1. Найти неопределенные интегралы:

Теорема 2 (существование неопределенного интеграла). Если функция f(х) непрерывна на (a, b) , то существует первообразная, а значит, и интеграл ∫f (x )dx.

Свойства неопределенных интегралов:

1. (∫f (x )dx )′ = f (x ) , т. е. производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

2. d (∫f (x )dx ) = f (x )dx , т. е. дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

3. ∫dF (x ) = F (x ) + C .

4. ∫(C 1 f 1(x ) + C 2 f 2 (x ))dx = C 1∫f 1(x )dx + C 2∫f 2(x )dx − свойство линей-ности ; С1, С2 - постоянные.

5. Если ∫f (x )dx = F (x ) + C , то

Первые три свойства вытекают из определения неопределенного интег-рала. Свойств 4 и 5 получаем дифференцированием левых и правых частей уравнений по х , используя свойство 1 интегралов и свойства производных.

П р и м е р 2 . Найти неопределенный интеграл: а) ∫(e x + cos5x )dx .

Решение. Используя свойства 4 и 5, находим:

Приведем таблицу основных интегралов, которая в высшей математике играет такую же роль, как таблица умножения в арифметике.

Основные методы интегрирования

Существует три основных метода интегрирования .

1. Непосредственное интегрирование − вычисление интегралов с по-мощью таблицы интегралов и основных свойств неопределенных интегралов.

П р и м е р 3 . Вычислить интеграл: ∫tg 2 xdx.

2. Метод подстановки . Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести вычисление данного интеграла к нахож-де-нию табличного. Этот метод еще называют методом замены переменной .

Теорема 3. Пусть функция x = φ(t) определена, непрерывна и диффе-ренцируема на некотором промежутке Т и пусть Х - множество значений этой функции, на нем, т. е. на Т определена сложная функция f(φ(t)). Тогда если ∫f(x)dx = F(x) + C , то

∫f(x)dx =∫f(φ(t)) φ ′(t)dt . (1)

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Замечание. После вычисления интеграла ∫f(φ(t)) φ ′(t)dt нужно пе-рей-ти назад к переменной х.

П р и м е р 4. Найти интеграл: ∫cos 3 x sinxdx.

а) Заменим sinxdx на (−d cos x ), т. е. внесем функцию cos x под знак диф-ференциала. Получим

3. Метод интегрирования по частям

Теорема 4. Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцируе-мы на некотором промежутке Х и пусть u ′(x)v(x) имеет первообразную на этом промежутке, т. е. существует интеграл ∫u ′(x )v (x )dx.

Тогда на этом промежут-ке имеет первообразную и функция u(x)v ′(x) и справедлива формула:

∫u (x )v ′(x )dx = u (x )v (x ) −∫v (x )u ′(x )dx (2)

∫udv = uv −∫vdu . (2′)

Формулы (2) и (2′) называются формулами интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

Методом интегрирования по частям вычисляются интегралы от следую-щих функций: P (x )arcsin(ax ), P (x )arccos(ax ), P (x )arctg(ax ), P (x )arcctg(ax ), P (x )ln x , P (x )e kx , P (x )sin kx , P (x )cos kx , здесь P(x) - многочлен; e ax cosbx , e ax sin bx .

Конечно, эти функции не исчерпывают всех интегралов, которые вычи-сляются с помощью метода интегрирования по частям.

П р и м е р 6. Найти интеграл: ∫arctg 3xdx .

Решение. Положим u = arctg 3x ; dv = dx . Тогда

По формуле (2) имеем

Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример 1. Найти.

 Разделив числитель на знаменатель, получим:

=
.

Отметим, что нет надобности после каждого слагаемого ставить произвольную постоянную, потому что их сумма есть также произвольная постоянная, которую мы пишем в конце.

Пример 2. Найти
.

 Преобразуем подынтегральную функцию следующим образом:

.

Применив табличный интеграл 1, получим:

.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

=
.

В некоторых случаях нахождение интегралов упрощается применением искусственных приемов.

Пример 6. Найти
.

 Умножив подынтегральное выражение на
находим

=
.

Пример 7 .

Пример 8 .

2. Интегрирование методом замены переменной

Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда, а иногда это связано с большими трудностями. В этих случаях применяют другие приемы. Одним из наиболее эффективных является метод замены переменной. Сущность его заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому, который сравнительно легко берется непосредственно. Существуют два варианта этого метода.

а) Метод подведения функции под знак дифференциала

По определению дифференциала функции
.

Переход в этом равенстве слева направо называют "подведением множителя
под знак дифференциала".

Теорема об инвариантности формул интегрирования

Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от нее, т.е., если

, то и
,

где
- любая дифференцируемая функция отx . Ее значения должны принадлежать интервалу, в котором функцияопределена и непрерывна.

Доказательство:

Из того, что
, следует
. Возьмем теперь функцию
. Для ее дифференциала в силу свойства инвариантности формы первого дифференциала функции  имеем

Пусть требуется вычислить интеграл
. Предположим, что существуют дифференцируемая функция
и функция
такие, что подынтегральное выражение
может быть записано в виде

т.е. вычисление интеграла
сводится к вычислению интеграла
и последующей подстановке
.

Пример 1. .

Пример 2. .

Пример 3 . .

Пример 4 . .

Пример 5 .
.

Пример 6 . .

Пример 7 . .

Пример 8. .

Пример 9. .

Пример 10 . .

Пример 11.

Пример 12 . НайтиI=
(0).

 Представим подынтегральную функцию в виде:

Следовательно,

Таким образом,
.

Пример 12а. НайтиI =
,
.

 Так как
,

следовательно I = .

Пример 13. Найти
(0).

 Для того, чтобы свести этот интеграл к табличному, разделим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на :

.

Мы подвели постоянный множитель под знак дифференциала. Рассматриваякак новую переменную, получим:

.

Вычислим также интеграл, который имеет важное значение при интегрировании иррациональных функций.

Пример 14. НайтиI=
(х а ,а 0).

 Имеем
.

Итак,

(х а ,а 0).

Представленные примеры иллюстрируют важность умения приводить данное

дифференциальное выражение
к виду
, гдеесть некоторая функция отx иg – функция более простая для интегрирования, чемf .

В этих примерах были проведены преобразования дифференциала, такие как


гдеb – постоянная величина


,

,

,

часто используемые при нахождении интегралов.

В таблице основных интегралов предполагалось, что x есть независимая переменная. Однако, эта таблица, как следует из изложенного выше, полностью сохраняет свое значение, если подx понимать любую непрерывно дифференцируемую функцию от независимой переменной. Обобщим ряд формул таблицы основных интегралов.

3а.
.

4.
.

5.
=
.

6.
=
.

7.
=
.

8.
(х а ,а 0).

9.
(а 0).

Операция подведения функции
под знак дифференциала эквивалентна замене переменнойх на новую переменную
. Нижеследующие примеры иллюстрируют это положение.

Пример 15. НайтиI=
.

 Произведем замену переменной по формуле
, тогда
, т.е.
иI=
.

Заменив u его выражением
, окончательно получим

I=
.

Выполненное преобразование эквивалентно подведению под знак дифференциала функции
.

Пример 16. Найти
.

 Положим
, тогда
, откуда
. Следовательно,

Пример 17. Найти
.

 Пусть
, тогда
, или
. Следовательно,

В заключение отметим, что разные способы интегрирования одной и той же функции иногда приводят к функциям, различным по своему виду. Это кажущееся противоречие можно устранить, если показать, что разность между полученными функциями есть постоянная величина (см. теорему, доказанную на лекции 1).

Примеры:

Результаты отличаются на постоянную величину, и, значит, оба ответа верны.

б) I=
.

Легко убедиться, что любые из ответов отличаются друг от друга только на постоянную величину.

б) Метод подстановки (метод введения новой переменной)

Пусть интеграл
(
- непрерывна) не может быть непосредственно преобразован к виду табличного. Сделаем подстановку
, где
- функция, имеющая непрерывную производную. Тогда
,
и

. (3)

Формула (3) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Как правильно выбрать подстановку? Это достигается практикой в интегрировании. Но можно установить ряд общих правил и некоторых приемов для частных случаев интегрирования.

Правило интегрирования способом подстановки состоит в следующем.

    Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).

    Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.

    Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.

    Производят замену под интегралом.

    Находят полученный интеграл.

    Производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной.

Проиллюстрируем правило примерами.

Пример 18. Найти
.


Пример 19. Найти
.


=
.

Этот интеграл найдем подведением
под знак дифференциала.

=.

Пример 20. Найти
(
).


, т.е.
, или
. Отсюда
, т.е.
.

Таким образом, имеем
. Заменяяего выражением черезx , окончательно находим интеграл, играющий важную роль в интегрировании иррациональных функций:
(
).

Студенты прозвали этот интеграл «длинным логарифмом».

Иногда вместо подстановки
лучше выполнять замену переменной вида
.

Пример 21. Найти
.


Пример 22. Найти
.

 Воспользуемся подстановкой
. Тогда
,
,
.

Следовательно, .

В ряде случаев нахождение интеграла основывается на использовании методов непосредственного интегрирования и подведения функций под знак дифференциала одновременно (см. пример 12).

Проиллюстрируем этот комбинированный подход к вычислению интеграла, играющего важную роль при интегрировании тригонометрических функций.

Пример 23. Найти
.


=
.

Итак,
.

Другой подход к вычислению этого интеграла:

.

Пример 24. Найти
.

Заметим, что удачный выбор подстановки обычно представляет трудности. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифференцирования и хорошо знать табличные интегралы.

Непосредственное интегрирование

Основные формулы интегрирования

1. С – константа 1*.
2. , n ≠ –1
3. +С
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием .

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Это наиболее распространенный метод интегрирования сложной функции, состоящий в преобразовании интеграла с помощью перехода к другой переменной интегрирования.

Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки. Сущность этого метода заключается в том, что путём введения новой переменной удаётся свести данный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берётся непосредственно.

Для интегрирования методом подстановки используют схему решения:

2) найти дифференциал от обеих частей замены;

3) всё подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл);

4) найти полученный табличный интеграл;

5) выполнить обратную замену.

Найдите интегралы:

Пример 1 . Подстановка: cosx=t, -sinxdx = dt,

Решение:

Пример 2. ∫e -x3 x 2 dx Подстановка: -x 3 =t, -3x 2 dx=dt, Решение: ∫e -x3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x3 +C

Пример 3. Подстановка: 1+sinx=t , cosxdx=dt ,

Решение: .

РАЗДЕЛ 1.5. Определенный интеграл, методы его вычисления.

п.1 Понятие определенного интеграла

Задача. Найти приращение функции, первообразной для функции f(x) , при переходе аргумента x от значения a к значению b .

Решение . Положим, что интегрированием найдено: ∫ (x)dx = F(x)+C.

Тогда F(x)+C 1 , где С 1 - любое данное число, будет одной из первообразных функций для данной функции f(x) . Найдем её приращение при переходе аргумента от значения a к значению b . Получим:

x=b - x=a =F(b) +C 1 - F(a) -C 1 =F(b)-F(a)

Как видим, в выражении приращения первообразной функции F(x)+C 1 отсутствует постоянная величина C 1 . А так как под C 1 подразумевалось любое данное число, то полученный результат приводит к следующему заключению: при переходе аргумента x от значения x=a к значению x=b все функции F(x)+C , первообразные для данной функции f(x) , имеют одно и то же приращение, равное F(b)-F(a) .



Это приращение принято называть определенным интегралом и обозначать символом: и читается: интеграл от а до b от функции f(x) по dх или, короче, интеграл от а до b от f(х)dх.

Число а называется нижним пределом интегрирования, число b - верхним ; отрезок а ≤ x ≤ b – отрезком интегрирования. Предполагается при этом, что подынтегральная функция f(x) непрерывна при всех значениях x , удовлетворяющих условиям: a x b

Определение. Приращение первообразных функций F(x)+C при переходе аргумента x от значения x=a к значению x=b , равное разности F(b)-F(a) , называется определенным интегралом и обозначается символом: так, что если ∫ (x)dx = F(x)+C, то = F(b)-F(a) - данное равенство называется формулой Ньютона - Лейбница.

п.2 Основные свойства определённого интеграла

Все свойства сформулированы в предложении, что рассматриваемые функции интегрируемы в соответствующих промежутках.

п. 3 Непосредственное вычисление определенного интеграла

Для вычисления определённого интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служит формула Ньютона – Лейбница

т.е. определённый интеграл равен разности значений любой первообразной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Из этой формулы виден порядок вычисления определенного интеграла:

1) найти неопределенный интеграл от данной функции;

2) в полученную первообразную подставить вместо аргумента сначала верхний, затем нижний предел интеграла;

3) из результата подстановки верхнего предела вычесть результат подстановки нижнего предела.

Пример 1: Вычислить интеграл:

Пример 2: Вычислить интеграл:

п.4 Вычисление определенного интеграла методом подстановки

Вычисление определенного интеграла методом подстановки состоит в следующем:

1) часть подынтегральной функции заменить новой переменной;

2) найти новые пределы определенного интеграла;

3) найти дифференциал от обеих частей замены;

4) всё подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл); 5) вычислить полученный определенный интеграл.

Пример 1: Вычислить интеграл:

Подстановка: 1+cosx=t, -sinxdx = dt,

РАЗДЕЛ 1.6. Геометрический смысл определенного интеграла.

Площадь криволинейной трапеции:

Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x).

Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.

Пусть на отрезке [а; b] задана непрерывная функция у = ƒ(х) ≥ 0. Найдем площадь этой трапеции.

Площадь фигуры, ограниченной осью 0x , двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функции у = ƒ(х) (рисунок), определяется по формуле:

В этом заключается геометрический смысл определённого интеграла.

Пример 1: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у=х 2 .+2, у=0, х= -2, х=1.

Решение: Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение у=0 задает ось Ох).

Ответ:S = 9 ед 2

Пример 2: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у= - е х, х=1 и координатными осями.

Решение: Выполним чертеж.
Если криволинейная трапеция полностью расположена под осью Ох , то её площадь можно найти по формуле:

В данном случае:

Внимание! Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.

РАЗДЕЛ 1.7 . Применение определенного интеграла

п.1 Вычисление объема тела вращения

Если криволинейная трапеция прилежит к оси Оx, а прямые у=a, у=b и график функции у= F(x) (Рис.1), тогда объем тела вращения определяется по формуле, содержащей интеграл.

Объем тела вращения равен:

Пример:

Найти объём тела, ограниченного поверхностью вращения линии вокруг оси Ох при 0≤ х ≤4.

Решение: V

ед 3 . Ответ:ед 3 .

РАЗДЕЛ 3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения

п.1 Понятие о дифференциальном уравнении

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее функцию от совокупности переменных и их производных.

Общий вид такого уравнения =0, где F- известная функция своих аргументов, заданная в фиксированной области; х - независимая переменная(переменная, по которой дифференцируется);у - зависимая переменная (та, от которой берутся производные и та, которую надо определить); - производная зависимой переменной у по независимой переменной х.

п.2 Основные понятия дифференциального уравнения

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него.

Например:

Уравнение второго порядка, - уравнение первого порядка.

Всякая функция, связывающая переменные и обращающая дифференциальное уравнение в верное равенство, называется решением дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция от и произвольной постоянной С, обращающая это уравнение в тождество по .

Общее решение, записанное в неявном виде =0, называется общим интегралом.

Частным решением уравнения =0 называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении - фиксированное число.

Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения n-го порядка (n= 1,2,3,…), удовлетворяющего начальным условиям вида

называется задачей Коши.

п.3 Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде можно переписать в виде . Если . Интегрируем: .

Чтобы решить уравнение такого вида надо:

1. Разделить переменные;

2. Интегрируя уравнение с разделенными переменными, найти общее решение данного уравнения;

3. Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (если они заданы).

Пример 1. Решить уравнение . Найти частное решение, удовлетворяющее условию y=4 при x=-2.

Решение: Это уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, находим общее решение уравнения: . Для получения более простого по форме общего решения постоянное слагаемое в правой части представим в виде C/2. Имеем или - общее решение. Подставив в общее решение значения y=4 и x=-2, получим 16=4+С, откуда С=12.

Итак, частное решение уравнения, удовлетворяющее данному условию, имеет вид

Пример 2. Найдите частное решение уравнения, еслипри.

Решение: , , , , , общее решение.

Подставляем значения х и у в частное решение: , , частное решение.

Пример 3. Найдите общее решение уравнения. Решение: , , , - общее решение.

п.4 Дифференциальные уравнения порядка выше первого

Уравнение вида или решается двукратным интегрированием: , , откуда . Проинтегрировав эту функцию, получим новую функцию от f(x), которую обозначим через F(x). Таким образом, ; . Интегрируем еще раз: или у=Ф(х) . Получили общее решение уравнения, содержащее две произвольные постоянные и .

Пример 1. Решить уравнение .

Решение: , , ,

Пример 2. Решить уравнение . Решение: , , .

РАЗДЕЛ 3.2. Числовой ряд, его члены

Определение 1. Числовым рядом называется выражение вида ++…++…, (1)

где , , …, , …- числа, принадлежащие некоторой определенной числовой системе.

Так, можно говорить о действительных рядах, для которых R, о комплексных рядах, для которых C, i = 1, 2, …, n, … = =.

Раздел 3.3. Основы теории вероятностей и математической статистики